内接圆圆心是什么交点(内接圆圆心公式)

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在本节我们将了解:

  1. 内切圆原理
  2. 证明三角形角平分线交于一点
  3. 三角形内切圆半径公式

三角形内切圆:与三角形各条边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

三角形内切圆的圆心和半径是通过三角形的角平分线交点来确定的。

先复习一下角平分线性质:角平分线上的任意一点,到角两条边的距离相等。

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证明如下:

直线AF平分∠BAC,过点F分别作AB和AC的垂线,构成2个直角三角形ΔAGF和ΔAHF

∵ ∠GAF = ∠HAF

∴ ∠AFG = ∠AFH,且两个直角三角形有公共边AF

∴ ΔAGF ≌ ΔAHF(ASA,角边角判定)

∴ FG = FH

证明完毕

以上也等价于:一个点到一个角两条边距离相等,则该点在这个角的角平分线上。

在任意三角形中必然有一个内切圆(也必然有一个外接圆)

过程如下:

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  1. 做ΔABC任意两个角的角平分线,相交与D点。
  2. 过D点作三角形三条边的垂线,分别交E,H,G。
  3. 根据角平分线性质可得,DE=DG=DH,这3条线段的长度为内切圆的半径,D点为内切圆的圆心。
  4. 以D为圆心,DE为半径作圆即可。

通过三角形内切圆,我们可以证明三角形的三条角平分线交于一点

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∵ DG = DH

∴ D点必然在∠ACB的角平分线上

∴ D点同时在三条角平分线上

∴ ΔABC的三条角平分线交于一点

证明完毕

三角形内切圆半径公式:

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S为三角形面积,a,b,c为三角形三条边长度

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已知三角形的三条边,面积可以通过海伦公式获得:

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p为三角形的半周长(周长的一半):

为什么要使用半周长?因为不使用半周长的公式是这样的:

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使用半周长后就便于记忆了。(关于海伦公式的推导,我们将会放在讲述三角形的内容中完成

继续上面的推导,假设AB=a,BC=b,AC=c,连接内切圆圆心D与三个切点,则DE⊥AB,DG⊥BC,DF⊥AC

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如果是直角三角形,内切圆的半径则容易很多:

如果a,b为直角边,c为斜边,则a2 + b2 = c2

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直角三角形的内切圆半径为:两条直角边的和减去斜边后的一半。

记住以上的两个公式,特别是直角三角形的,在解题中会事倍功半。


作者并非老师,在辅导孩子数学的这几年中,感觉到现在的数学教学都是切片式的,每个年级讲一点,时间跨度很大,孩子在学习过程中死记硬背,对其原理理解并不透彻。而初中的数学基本功对高中阶段的学习非常重要。所以打算自己来写一些教程,有别于教科书和参考书那样,仅仅是对知识点的罗列,会对每个知识点进行详细的说明,并给出证明过程(这点学校在教学过程中比较缺失)。希望能帮助同学们更好地融会贯通。

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