在本节我们将了解:
- 内切圆原理
- 证明三角形角平分线交于一点
- 三角形内切圆半径公式
三角形内切圆:与三角形各条边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
三角形内切圆的圆心和半径是通过三角形的角平分线交点来确定的。
先复习一下角平分线性质:角平分线上的任意一点,到角两条边的距离相等。
证明如下:
直线AF平分∠BAC,过点F分别作AB和AC的垂线,构成2个直角三角形ΔAGF和ΔAHF
∵ ∠GAF = ∠HAF
∴ ∠AFG = ∠AFH,且两个直角三角形有公共边AF
∴ ΔAGF ≌ ΔAHF(ASA,角边角判定)
∴ FG = FH
证明完毕
以上也等价于:一个点到一个角两条边距离相等,则该点在这个角的角平分线上。
在任意三角形中必然有一个内切圆(也必然有一个外接圆)
过程如下:
- 做ΔABC任意两个角的角平分线,相交与D点。
- 过D点作三角形三条边的垂线,分别交E,H,G。
- 根据角平分线性质可得,DE=DG=DH,这3条线段的长度为内切圆的半径,D点为内切圆的圆心。
- 以D为圆心,DE为半径作圆即可。
通过三角形内切圆,我们可以证明三角形的三条角平分线交于一点。
∵ DG = DH
∴ D点必然在∠ACB的角平分线上
∴ D点同时在三条角平分线上
∴ ΔABC的三条角平分线交于一点
证明完毕
三角形内切圆半径公式:
S为三角形面积,a,b,c为三角形三条边长度。
已知三角形的三条边,面积可以通过海伦公式获得:
p为三角形的半周长(周长的一半):
为什么要使用半周长?因为不使用半周长的公式是这样的:
使用半周长后就便于记忆了。(关于海伦公式的推导,我们将会放在讲述三角形的内容中完成)
继续上面的推导,假设AB=a,BC=b,AC=c,连接内切圆圆心D与三个切点,则DE⊥AB,DG⊥BC,DF⊥AC
如果是直角三角形,内切圆的半径则容易很多:
如果a,b为直角边,c为斜边,则a2 + b2 = c2
直角三角形的内切圆半径为:两条直角边的和减去斜边后的一半。
记住以上的两个公式,特别是直角三角形的,在解题中会事倍功半。
作者并非老师,在辅导孩子数学的这几年中,感觉到现在的数学教学都是切片式的,每个年级讲一点,时间跨度很大,孩子在学习过程中死记硬背,对其原理理解并不透彻。而初中的数学基本功对高中阶段的学习非常重要。所以打算自己来写一些教程,有别于教科书和参考书那样,仅仅是对知识点的罗列,会对每个知识点进行详细的说明,并给出证明过程(这点学校在教学过程中比较缺失)。希望能帮助同学们更好地融会贯通。
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