法国哲学家和数学家勒内·笛卡尔凭借《方法论》为17世纪数学的复兴做出了巨大贡献。也正是由于这本书，人们把统一代数和几何或者创立解析几何的荣誉归功于笛卡尔。
笛卡尔本人尤其关注古希腊数学家巴伯斯和丢番图，他注意到数学唯一关心的是次序和度量问题，而问题中的量度是否涉及数字、形状、恒星等任何东西都是无关紧要的。这启发了他去寻找一门通用数学——能够提出与解释次序和量度相关的问题，而无需考虑所要解决的问题。于是，笛卡尔把所有的精力都用于寻找通用数学。
至1619年时。笛卡尔有信心在自己的思想和创新的基础上建立一整套完整的哲学系统，该系统可以为学习和研究开创一条充满确定性和明确性的路。在接下来的的20年间，笛卡尔发展了这些观点，并将领域扩充到对整个世界运转方式的宏大严谨的解释。1633年开始完成《论世界的》的手稿时，由于获悉伽利略因赞同哥白尼日心说而宗教监禁，笛卡尔并未出版该书。事实上直到《方法论》，这期间写成的书均未出版，当然除了担心教会的惩罚，另一个原因是当时没有科学期刊。
“大战”的前夕
当时的法国有一个勤于学术的牧师马林·梅森，充当了科学期刊的作用，他的家成为了当时最顶尖的数学家的聚会所。梅森与其他数学家一直保持通信，这也是笛卡尔与费马争论的阵地了。
笛卡尔在方法论的开篇中提到：不能确知是对的事,不要接受。这就是说,在判断时谨慎地避免仓促和偏见,只接受那些非常清晰地印在脑海中不容置疑的东西；笛卡尔认为可以运用数学作为基础来进行建构。正如他提出的:“我尤其喜欢数学,因为它们说理时的确定和明晰。但我还没有精确地掌握它们的正确用法;考虑到它们对机械技术的发展独一无二的贡献,这些基础如此牢固,它们无需我们再往前发展更多,我为此感到惊异。他的书没有对世界做出完整的解释,但它的确主张所有的自然现象都可以做出机械的解释,这是一个非常有力的观念。《方法论》一书包含3篇文章，依次是《折射光学》、《大气现象》、《几何》，其中第一篇《折射光学》和第三篇《几何》是与费马争论的焦点。而《几何》就是笛卡尔留给数学的主要遗产，其中他对古希腊几何学家阿波罗尼奥斯留下来的问题给出了通用且彻底的代数解法——方法的基础特征就是将方程和曲线联系起来，将点和曲线放在同一个坐标系中，只是这里的坐标系并不是我们熟悉的坐标系。基于此，笛卡尔对方程理论做出了有意义的贡献，把两个曲线放到同一个坐标系中，通过解出两曲线方程的公共根，寻找曲线的交点；笛卡尔还引入了一套符号系统，字母表开头的小写字母表示常数或已知数，而字母表末尾的小写字母表示未知数。虽然凭借《几何》，笛卡尔成为解析几何的缔造者，但“解析几何”这一名称直到19世纪才出现。
想必笛卡尔对自己这种世界首创的独特方法是特别的自豪，然而却得到了当时重要数学家的批评，其中就包括了费马，没错，就是提出费马大定理的那个业余数学家。事情已通过笛卡尔同时代的数学家让·贝格兰开始的，1636年贝格兰出版了一本《刚体力学》，该书得到了笛卡尔的严厉批评，或许这是一个让人怀恨在心也说不准，1337年冬，贝格兰得到了《折射光学》的抄本，抄本在他与同僚之间的传阅，当然包括费马，开始了猛烈的攻击。其中费马认为折射定律的证明根本就算不上是证明，当然没人知道笛卡尔得出折射定律的关键步骤依赖于未出版的《论世界》中的精确论述，直到1644年笛卡尔出版《哲学原理》，定律才得到充分论述。
费马对《几何》在最大值与最小值方面没有任何研究感到惊讶，于是费马把自己在这领域的成果寄给了梅森，包括了最值、曲线的切线方法，解析几何的成com果。笛卡尔在出版《方法论》之前，看到了费马的这些成果，两人的方法惊人的相似，这无疑成为了费马和笛卡尔冲突的诱因，于是评论和批判铺天盖地。特立独行的笛卡尔对此大都以愤怒和轻蔑回应，在任何场合都乐意争论的笛卡尔是不可能咽下这口气的，1638年笛卡尔开始针对费马的批评给予反击：指责费马缺乏数学家和思想者的素质，笛卡尔认为费马的成果应该归功于他。人们普遍认为，当时的费马应该是完全不知道笛卡尔的成果的，他们是各自独立的解决轨迹问题。
笛卡尔的反击
论战扩大，更多人卷入其中，罗贝瓦尔和帕斯卡站在了费马一边，克劳德·麦多治和吉拉德·德扎格站在了笛卡尔这边。
费马虽然是那个时代伟大的数学家，但是他在论文中常常是忽略细节的，而且在面对别人的质疑时，又偏偏不做详细说明，这确实让当时的同行不悦。丢番图一书中关于费马大定理的几行字就可见一斑。笛卡尔同样指责费马寻找最大值、最小值的方法和关于切线的规则都不是严格推导的结果；更狠的是说费马的声誉主要来自两个幸运的猜想，这是极易引起费马及追随者的怒火的。相对于笛卡尔的猛烈攻势，费马好像要淡定的多，或许是在憋大招。
争斗持续了20年，在间歇期，笛卡尔更多的是继续在哲学和形而上学上的研究，并出版了倍受好评的书籍；而经过四次修订的《几何》，深深的影响了新一代的数学家，更是巩固了他在数学界的荣誉，除此之外笛卡尔算是远离了数学，暴躁易怒和出言刻薄的他也得罪了不少数学家。1650年，在尊敬和荣誉中，笛卡尔离开了人世。
费马的复仇
即便是笛卡尔已经离世，费马的伤痛依旧。17世界50年代末，一位笛卡尔的忠实的拥趸克劳德·克雷色列尔在编辑笛卡尔的书信集，请求费马把他希望编入的信件抄本提供给他，这让费马得到了“复仇”的大好时机，于是他给克雷色列尔回了一封长信，只是信件没有达到恢复费马名誉的效果，尽管此时的费马用语更加的强硬。相比于笛卡尔离开了数学，费马勤奋钻研，在数论和概率论领域做出了重大贡献，也为微积分的发展打下了基础，而且费马在解析几何上的方法更接近我们现在所用的方法，但笛卡尔所用的符号更现代化一些。内敛些的费马生前并未得到广泛的认可，费马自称更愿意去探索确定性的真理，而不愿意花费更多时间在辩论、虚名和无谓的争论上。然而笛卡尔和费马两人对17世纪的数学发展所做的贡献是不可磨灭的。
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