课前慎思
“3的倍数特征” 是新世纪小学数学（北师大）五上第三单元中的内容，这一课编排在"2，5的倍数特征” 之后。学习 2，5的倍数特征时，学生经历了观察、猜测、分析、验证等方法探究特征的过程，具有了一定的认知经验，教材的编排仍然借助百数表让学生探究3的倍数特征，希望继续发展分析、比较、猜测、验证的能力。
那么，对于"3的倍数特征＂，学生又会如何的思考呢？我们采用纸笔测试和询问的方式对40名学生进行了前测。
题目1：我们已经学了 2，5的倍数特征，3的倍数特征是怎样的呢？学生的回答如下：
再询问出现答案四的孩子：“你怎么就想到可以用数字之和来判断？＂ 孩子回答：“家长告诉我的。” “我从课外书了解到的。” “预习了数学书。” ……
题目2：4512是3的倍数吗？
小明说：可以用4512÷3，看4512能否被3整除进行判断。
小刚说：还可以用（4 +5+ 1+2= 12, 12÷3=4）来判断。
对他们俩的说法，你有什么看法？
100%的孩子都肯定了小明的方法。90%的孩子否定了小刚的方法，原因是千位、百位、十位、个位上的数字不能加在一起，它们的计数单位不同。
由此可知，孩子们具有直接根据个位或者十位上的数字特点寻找倍数特征的经验，但是这些经验不足以支撑很快找出3的倍数特征。如何让学生突破已有经验的局限性，真正理解为什么各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数？以怎样的过程引导学生来深刻地经历和体验？我们尝试用几何直观百格图来突破。
课堂实录
Part 1：沿循“旧”路，改造经验
杜威曾说，教育即经验的连续不断地改造。3的倍数特征利用找寻2，5的倍数特征经验去进行，显然行不通，如何让学生从经验中产生新问题，而问题又激发他们探索，从而产生新的经验呢？大胆放手，留足探究的时空，让学生由此及彼、由浅入深，在思维的碰撞，相互的辨析、质疑的过程中完善认知，生成新的经验。
师：同学们，我们今天研究3的倍数特征，你们先不妨猜想一下，3的倍数可能有怎样的特征？
生1：我认为3的倍数个位都是3，6，9。
生2：不对，像13，16，19，…这些数就不是3的倍数。
生3：我在百数表里找出了3的倍数，发现个位上0～9这些数字都出现过。
师：是呀，个位上的数字没有规律，怎么办呢？
有学生小声嘀咕：“十位上的数字也没有规律哦。”课堂沉默了一段时间。
生4：我认为十位上的数字和个位上的数字加起来如果是3，6，9的话，就是3的倍数。大家请看：在10～20以内，12，15，18的十位上和个位上的数字和是3，6，9；继续看20～30以内，21，24，27这些数的数字和也是3，6，9；再看30，33，36，…
全班响起了热烈的掌声，大家肯定了生4的观点。
生5：我有一个问题，如果这个数不是两位数，而是一个更大的数，比如1278，34656，…用这个规律怎样判断？
师：生5特别爱动脑筋 ，敢于质疑，其他同学还有什么想法呢？
生6：我认为所有数位上的数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。比如345，3+4+5=12，12是3的倍数，所以345也是3的倍数；再如1278,用 1+2+7+8=18，18 是3的倍数，所以1278也是3的倍数。
师：这个规律可行吗？请大家举一些例子再证明一 下。
大家忙着再用正例和反例验证，最终发现：各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
生7：我有疑问，每个数位上的数字表示的意义不一样，怎么能够加在一起呢？比如，1278代表的是1个千、2个百、3个十、8个一，计数单位不一样，怎么能把这些数字相加呢？
师：真是爱动脑筋的孩子，不仅要知其然，而且要知其所以然。
Part 2：探寻真相，以 “形”解数
著名的数学家华罗庚说，数缺形时少直观，形缺数时难入微。在孩子们的认知结构中，不同计数单位的数表示的意义不一样，是不能直接相加的，为什么在3的特征概述中可以把各个数位上的数字相加求和，原理何在？教师借助百格图，让学生在操作中体验，在对比、观察、类推中明理，弄清问题的实质。
师：生4和生6的发现到底有没有价值？咱们借助百格图来看看吧。（出示图1）谁来对照图说一 说，10为什么不是3的倍数？
生1：3个一组，分完3组还余 1个，所以10并不是3的倍数。
师：同学们的意思是分完9个，余1个，用算式表达10=1×9+1，可以吗？
生1：当然可以呀。
师：如果是20呢（如图2）？分完后用算式怎样表达？
生2：20=2×9+2。
师：如果是30呢（如图3)? 像这样分下去，用算式怎样表达？
生3：30=3×10。
生4：还可以30=3×9+3。
师：同学们利用百格图，像这样边分边写出算式，自己试一试。
学生写下如下算式：
40=4×9+4
50=5×9+5
60=6×9+6
......
师：同学们，根据你分的过程和写出的算式进行观察，你们发现了什么？
生1： 用几个十来分就会余几个一。
师：还有什么发现？（有意识地将余数与十位上的数字指点一下，引导学生观察 ）
生2：十位上的数字是几 ，余数就是几 。
生3：当余数是3的倍数，这个数就是3的倍数。
师：厉害，同学们都有一双发现的眼睛。如果100，像这样每3个一组来分，余数是几呢? 200，300呢？
学生写下如下算式：
100=11×9+1
200=22×9+2
300=33×9+3
......
生：如果是整百数，百位上有几个百，余数就会余几个一。
师：通过刚才的圈一圈、写一写、看一看的活动，同学们体验到了整十、整百数除以3的余数特点。那如果这个数是整千、整万的数呢？
板书：
1000=111×9+1
2000=222×9+2
......
生：依此类推，哪个数位上是几 ，分了之后就会余下几个一。
Part 3：深入探究，明晰本质
借助几何直观让学生意识到3的倍数特征背后隐含的道理，不同数位上的数字之和实际上转化成每个数位上余下来的几个一的和，每个数位上余下来的几个一的和正好对应着各个数位上的数字和，这样的转化过程看起来很复杂，但数学的简洁和抽象恰好掩盖了最本质的原理，直面学情，化解疑惑，只有回到认识的起点，层层剥笋，还原概念的真相，才能促进学生真正理解。
师：如果这个数不是整十、整百、整千……的数，又是什么样的情况呢？
出示下图：
师：借助（图4）分析一下22为什么不是3的倍数。
生1：22里面有2个十、2个一。2个十分完后余下2个一，余下的2和个位上的2合在一起是4个一，4个一分了之后，还余1个，所以22不是3的倍数。
师：借助图（5）说一说54 是3的倍数吗？为什么？
生2：54里面包含5个十和4个一。5个十分完后还余下5个一，余下的5个一和4个一合在一起是9个一，9个一正好分完没有余数，所以54是3的倍数。
师：同学们再看（图6）135，是3的倍数吗？为什么？
师：我们把上述分析的过程用表格的形式简单整理一下（如下）：
师：请你列举一些其他的数，像刚才那样说一说是不是3的倍数，为什么。
学生列举了一些更大的数相互说一说，进一步完善了表格。
师：同学们，从整理的表格中大家发现了什么？
生1：哪个数位上是几就会余下几个一，余下的几个一合在一起，如果和是3的倍数，这个数就是3倍数，否则就不是3的倍数。
生2：我认为，余数和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
生3： 我发现余数和就是各数位上的数字和。
师：同学们有这么多的发现，真是了不起！通过分一分的活动，我们发现各数位上的余数和是3的倍数，这个数就是3的倍数这个道理。大家还把余数和与这个数各个数位上的数字和联系起来思考了，进一步说明3的倍数特征是什么？
生4：每个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
师：为了方便快捷，我们判断3的倍数就不用去寻找余数和，直接找到各位上的数字和就可以了。
师：同学们，你现在能解释“为什么每个数位上的数字表示的意义不一样，能够加在一起了吗？”
课后反思
《3的倍数特征》这节课，很多老师感觉不好上，究其原因：一是没有2，5的倍数特征明显，学生的已有经验派不上用场；二是用数学语言描述特征很困难；三是不能理解各个数位上的数字和相加的原理。针对这样的学习状况，教学中我努力体现以下三点：
1．直面学情
以往教学中，当学生无法从个位或十位直接观察到规律时，教师往往直接提示。学生即使能够发现规律，也不是自己独立探究的结果，更可能似懂非懂。通过前测，发现大家都存在“不同数位上的数字不能直接相加”的疑惑，教师就要思考：3的倍数特征存在的合理性在哪里？这就是本节课要突破的重点和难点。
2．挖掘本质
借助百格图这种直观模型来探究，的确是一个很好的办法。但重要的是怎样让学生体验到余数之和与每一位上的数字之和的联系。先让学生利用数形结合讲一讲10，20为什么不是3的倍数，然后让学生自己分一分、写一写，说一说，直观感受和体验哪个数位上数字是几，最后就会余下几个一，这样看似不同计数单位的数字相加，其实是相同计数单位的几个一相加，所以只需要看数字和就可以判断是否为3的倍数了。
3．促进理解
数学是一门高度抽象的学科。如果本节课仅仅停留在知识层面知道3的倍数特征并学会判断某个数是否为3的倍数，学生的分析、判断、推理等能力就得不到有效提升。如果忽视学生的认知障碍，学生心中的疑惑就得不到有效的解答，久而久之学生就会失去思考的动力，变得懒得思考，不爱思考。探寻3的倍数特征背后的奥秘，弄清为什么不同数位上的数字可以相加的道理，追本溯源，解答学生心中的疑惑，让学生感受到数学的奇妙，感受到思考带来的乐趣。
作者：邓永翠（湖北省宜都市实验小学）