调和级数为什么发散（调和级数为什么发散反证法）

我们的李永乐老师最近在文章中提到调和级数，并从此讲到了黎曼猜想，厉害了。我们这里仅仅具体聊聊调和级数为什么发散。

历史上是谁最先证明调和级数是发散的呢？

文艺复兴时代有位意大利数学家，名字叫蒙勾里（Pietro Mengoli, 1625-1686），是博洛尼亚的神职人员。博洛尼亚这个地方出数学家不奇怪，貌似博洛尼亚有世界上最古老的大学。

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蒙勾里证明调和级数收敛仅仅依赖于下面的简单不等式, 对所有的x>1，有

这就有矛盾。故调和级数不是收敛的。

中世纪黑暗时期法国学者奥穆雷（Nicole d'Oreme，约1323-1382）也给出过一个证明。

奥穆雷的方法则是逐次每2^n个项进行合并、估计。具体来说，他注意到

奥莱姆的这个证明也是现在教科书中通用的方法。

现在，利用简单的微积分知识，也很快能证明。

方法是积分判别法。因

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调和级数发散实际上是一件令人吃惊，违反直观的事情。网上有位名叫“三江方士”的网友说：

“我断断续续算了20年，即便没有得到答案，但我确信这个和值是有限的，而且很可能不会大于400。我苦于自己不是数学专业没有快捷方法和先进机器，所以希望业界有心人士能来试一试，我相信这个课题比哥德巴赫猜想更有意义。”

我们上面注意到只要把调和级数的项增加任意一个阶

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则前n项之和S_n超过400。这等价于要求n>exp(400)。这是一个巨大的数字。即使穷其一生，三江方士也计算不到这一项。也不能如三江方士所说，归咎于没有高明的计算机和计算技术，即便利用最好的计算资源，要逐项加也是不可能完成的任务。

调和级数的发散性的证明是数学史上的大事情。就如所有数学知识一样，如果要从头开始，其实都不是简单的事情。